«Перевод систем счисления» - Перевод целых чисел в 2, 8, 16-ю системы счисления. Десятичная. Восьмеричная. Перевод чисел из 2-ой системы счисления в 8-ую. Перевод чисел из 16-ой системы счисления в 10-ую. Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия. Перевод чисел из 10-ой системы счисления в 8-ую.

«Числа и системы счисления» - Перевод чисел (10) ? (q). Двоичная арифметика. Позиционные системы счисления. Основание 10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Пример. Недостаток: быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Перевод чисел (2) ? (8), (2) ? (16). Правило счета. Двоичная система счисления.

«История чисел и систем счисления» - История цифр. Непозиционные системы счисления. Например: 0101101000112 = 0101 1010 0011 = 5A316. Позиционные системы счисления. Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков. Сложение чисел неограниченной длины. Цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей не позиционной системе счисления.

«Вавилонское царство» - Рабов продавали, обменивали, дарили, передавали по наследству. Рабовладельчество. Древневавилонское государство достигло расцвета в царствование Хаммурапи (1792-50 до нашей эры). Висячие сады до… Даже изображения на кирпичах были посвящены кошкам. Население здесь занималось главным образом рыболовством, скотоводством и земледелием.

«История систем счисления» - Число представляло некий рисунок в котором количество углов соответствовало цифре. Время бежит все изменяется. Обычная система записи чисел который мы привыкли пользоваться жизни. История системы счисления. Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением математики МОУСОШ школа №125 . Десятичная система счисления.

«Примеры систем счисления» - Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Шаг 2. Разбить на триады: Таблица шестнадцатеричных чисел. Тема 2. Двоичная система счисления. Перевод в восьмеричную и обратно. Системы счисления. Перевод в двоичную и обратно. Заем. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой.

“ Потому что все оттенки смысла

умное число передает ”

Николай Гумилев.

Системы счисления

Редактор материала учитель ИКТ МБОУ ЦО – гимназии №11 г. Тулы Акимов Д.Ф.

Что такое цифра?

Цифра – это письменный знак, изображающий число.

Система нумерации – способ соединения цифр для изображения больших чисел.

Рассмотрим системы нумерации некоторых народов.

Древнегреческая аттическая нумерация

Числа 1,2,3,4 обозначались черточками I, II, III, IIII, а число 5 записывали знаком Г (древнее начертание буквы “Пи”, с которой начинается слово “пенте” - пять.

Числа 6,7,8,9 обозначались ГI, ГII, ГIII, ГIIII, а число 10 обозначалось ▲ (начальная буква в слове “десять”)

Числа 100,1000 и 10000 обозначались Н, Х, М – начальными буквами соответствующих слов.

Числа 50,500 и 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000, а именно

Остальные числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:

H H ГI = 256; X X I = 2051;

H H H ▲ ▲ ▲ I I = 382; X X H H H = 7800 и т.д.

Ионийская нумерация чисел

В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1-9 обозначаются первыми девятью буквами алфавита:

числа 10, 20, 30,…, 90 следующими девятью буквами:

числа 100, 200, 300,…, 900 последними девятью буквами:

Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами с добавлением особого значка ’ сбоку:

’ α=1000 ’ β=2000 и т.д.

Ионийская нумерация чисел

Для отличия цифр от букв, составляющих слова, писали черточки над цифрами

Ιη=18; μζ=47; υζ=407; χκα=621; χκ=620 и т.д.

α=1 β=2 γ=3 δ=4 ε=5 ς =6 ζ=7 η=8 θ=9

Альфа бэта Гамма дельта эпсилон фау дзета эта тэта

ι=10 κ =20 λ=30 μ=40 ν=50 ξ=60 ο=70 π=80 Ϥ=90

йота каппа ламбда мю ню кси омикрон пи коппа

ρ=100 σ=200 τ=300 υ=400 φ=500 χ=600 ψ=700 ω=800 ϡ=900

ро сигма тау юпсилон фи хи пси омега сампи

Такую же алфавитную нумерацию имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока и неизвестно, у какого народа она возникла впервые.

Славянская нумерация

Южные и восточные славяне для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У русских народов роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей букву ставился спец. значок – “ титло ”.

В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала арабская нумерация (пользуемся сейчас) . Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. Приведем славянские цифры:

Α Β Γ Δ Ε S Ζ И Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ч Ρ С Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Ц

• 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Κ Α =21 ΜΕ=45 ΨΒ=702 СΒ=202

В древнем Вавилоне ≈ за 40 веков до нашего времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. В вавилонской системе ту роль, которую у нас играет число 10, играло число 60, поэтому эту нумерацию называют шестидесятеричной .

Числа, меньшие 60, обозначались с помощью двух знаков: для единицы и для десятка

Они имели клинообразный вид, т.к. вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз

Вавилонская поместная нумерация

Способ обозначения чисел, больших 60, показан на рис:

5*60+2=302 21*60+35=1295

1*60*60 + 2*60 +5 =3725

Вавилонская поместная нумерация

При отсутствии промежуточного разряда употреблялся знак, игравший роль нуля.

Например, запись обозначала 2*60*60 + 0*60 +3 =7203

60-ричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, но 60-ричные дроби проникли далеко за пределы: в страны ближнего Востока,Средней Азии, в Сев. Африку и Западную Европу. Следы 60-ричных дробей сохраняются поныне в делении углового и дугового градуса на 60 мин. и минуты на 60 секунд.

Римские цифры

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего временем под именем “римской нумерации”. Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, наименования съездов, нумерации глав в книгах и т.д.

В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок.

В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы. В языке же римлян (латинском) никаких следов 5-ричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (вероятно у этрусков).

Римские цифры

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Например:

VI=6, т.е. 5+1 IV=4, т.е. 5-1

XL=40, т.е. 50-10 LX=60, т.е. 50+10

Подряд одна и та же цифра ставится не более 3 раз.

LXX=70;LXXX=80;число 90 записывается XC (а не LXXXX).

Примеры: XXVIII=28; XXXIX=39; CCCXCVII=397;

MDCCCXVIII=1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой системе очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы – до 16 века.

Индийская поместная нумерация

В различных областях Индии существовали различные системы. Одна из них распространилась по всему миру и сейчас является общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке – санскрите (алфавит “деванагари”).

Первоначально этими знаками представлялись числа 1,2,3,…9,10,20,30,…90,100,1000; с их помощью записывались другие числа.

В последствии был введен особый знак (жирная точка, кружок) для указания пустующего разряда; знаки для чисел, больших 9, вышли из употребления, и нумерация деванагари превратилась в 10-ричную поместную систему.

Как и когда совершился этот переход – до сих пор не известно. В середине 8 века позиционная система нумерации получает в Индии широкое применение.

Индийская поместная нумерация

Примерно в это время она проникает в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет, Иран, территория среднеазиатских республик). Решающую роль в распространении индийской системы сыграло руководство, составленное в начале 9 века узбекским ученым Аль-Хорезми (Китаб ал-джебр в’алнукабала). Это руководство в Зап. Европе было переведено на лат. язык в 12 веке. В 13 веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах Зап. Европы она утверждается в 16 веке.

Европейцы, заимствовавшие инд. нумерацию от арабов, называли ее “арабской”. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Индийская поместная нумерация

Из арабского языка заимствовано и слово цифра (по арабски “сыфр”), означавшее буквально “пустое место”.

Это слово первоначально употреблялось для наименования знака пустующего разряда и этот смысл сохраняло еще в 18 веке, хотя уже в 15 веке появился латинский термин “нуль” (nullum - ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, в которой мы их пишем сейчас, установилась в 16 веке.

Система счисления – это способ записи чисел с помощью цифр и символов.

C.C. делятся на позиционные и непозиционные

В позиционной С.С. вес цифры зависит от ее местоположения, “позиции” в числе (60-ричная вавилонская, наша 10-ричная)

Основанием (базисом) С.С. называется количество цифр и символов, используемых в ней. Основание С.С. показывает, во сколько раз численное значение единицы данного разряда больше численного значения единицы предыдущего разряда.

Столь привычная для нас 10 С.С. оказалась неудобной для ЭВМ (реализовать элемент с 10 состояниями сложно, а с двумя – легко). Поэтому в памяти ЭВМ информация представляется в двоичной С.С.

Двоичная система счисления

В 2 с.с. используются всего две цифры:0 и 1. Основание 2 с.с. записывается как 10. Например, представление числа 8 в 2 с.с. выглядит так: 1000 2 =8 10

1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +0*2 0 =8

Арифметические действия в 2 с.с. выполняются по тем же правилам, что и в 10 с.с. , только в 2 с.с. перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в 10 с.с.

Таблица сложения Таблица вычитания Таблица умножения

0+0=0 0-0=0 0*0=0

0+1=1 1-0=1 0*1=0

1+0=1 1-1=0 1*0=0

1+1=10 10-1=1 1*1=1

Десятичное Двоичное

Десятичное Двоичное

Двоичная система счисления Примеры

1. Поскольку основание 2 с.с. мало, для записи даже не очень больших чисел приходится использовать много знаков. Например, число 1000 записывается в 2 с.с. с помощью десяти цифр:

1000 10 = 1111101000 2 = 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 +2 3

Однако этот недостаток окупается преимуществами, связанными с аппаратной реализацией (по принципу “Да-Нет” работают все полупроводниковые элементы).

2. Естественные возможности человеческого мышления не позволяют быстро и точно оценить величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Недостаток двоичной системы счисления

Для облегчения восприятия человеком двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по 3 или 4 разряда. Эта идея оказалась удачной, т.к. последовательность из 3 бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит - 16 комбинаций. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко будет находить соответствие с двоичными числами.

Развив эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов (триад) требуется 8 цифр, и поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной с.с. Для кодировки же четырех битов (тетрад) необходимо 16 знаков, для этого взяли 10 цифр десятичной с.с. и 6 букв лат. алфавита A, B, C, D, E, F. Полученные системы назвали 8-ричной и 16-ричной.

Десятичное

8-ричное число

число

Последователь-ность из триад

16-ричное число

Последователь-ность из тетрад

Метод триад и тетрад

Для преобразования дв. числа в восьмеричное число необходимо двоичную последовательность разбить на триады справа налево и каждую триаду заменить соответствующей 8-ричной цифрой. Аналогично и при преобразовании в 16-ричный код, только двоичную последовательность разбиваем на тетрады, а для замены используем 16-ричные знаки.

Например:

надо перевести 1101011101 из дв. в 8-ричную с.с.

• Разбиваем на триады справа налево.

2. Каждую триаду заменяем соответствующей 8-ричной цифрой 1 5 3 5. Это и будет ответ.

001 101 011 101 2 =1535 8

Метод триад и тетрад

Так же просто осуществляется и обратное преобразование – для этого каждую цифру 8 или 16-ричного числа заменяют группой из 3 или 4 бит. Например:

AB51 16 =1010 1011 0101 0001 2

177204 8 = 1 111 111 010 000 100 2

Выполнение арифметических действий

При работе в 8- и 16-ричной с.с. надо помнить, что если имеет место перенос, то переносится не 10, а 8 или 16. Примеры:

27,2643 8 _ 115,3564 8

46,1154 8 55,7674 8

75,4017 8 37,3670 8

287,АВ _ EC2A,82

2ЕD,0D 16 2EAD,E8

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Итак, мы освоили 4 системы счисления”

“ машинную” – двоичную;

“ человеческую” – десятичную

и две промежуточные - 8 и16-ричную.

Каждая из них применяется в различных процессах, связанных с ЭВМ:

2 с.с. – для организации машинных операций по преобразованию информации;

8 и16 с.с. – для представления машинных кодов в виде, удобном для работы профессиональных пользователей (программистов и аппаратчиков);

10 с.с. – для представления результатов деятельности ЭВМ, отображаемых на устройствах ввода/вывода.

Поэтому в машине постоянно происходят процессы преобразования чисел из одной с.с. в другую.

Перевод чисел в 10 с.с. выполняется способом суммирования с учетом веса разрядов

1101,011 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 0 +1*2 -2 +1*2 -3 = =8+4+1+0,25+0,125= 13,375

142,4 8 =1*8 2 +4*8 1 +2*8 0 +4*8 -1 = =64+32+2+0,5= 98,5

12E,6 16 =1*16 2 +2*16 1 +14*16 0 +6*16 -1 = =256+32+14+0,375= 302,375

Перевод чисел из 10 с.с. в другую систему

Обычно выполняется методом последовательного деления исходного числа на основание с.с. Полученный остаток после первого деления является младшим разрядом нового числа. Образовавшееся частное снова делится на это основание. Из остатка получаем следующий разряд нового числа и т.д.

Пример: _212 2 212 10 =11010100 2

Переведем десятичное число31318 в 8 с.с.

Пример2: _31318 8 31318 10 =75126 8

Переведем десятичное число 286 в 16 с.с.

Пример3: _286 16 286 10 =11Е 16

Список использованной литературы

• С.И. Фомин. Популярные лекции по математике. Выпуск 40. Системы счисления. М.: Наука, 1980.
• М.Я. Выгодский. Справочник по математике.

Вавилонская система счисления

Ш ести десятери чн ая вави лон ская си стем а -
п ервая и звестн ая н ам си стем а счи слен и я,
осн ован н ая н а п ози ц и он н ом п ри н ци пе.
И дея п ри п и сы вать ц и ф рам разн ы е вели чи н ы
взави си м о сти о т то го, к ак ую п о зи ц и ю о н и
за н и м а ю т в з а п и с и ч и сл а, в п е р в ы е п о я в и л а с ь в III
т ы с я ч е л е т и и д о н.э. в М е с о п о т а м и и (М е ж д у р е ч ь е)
у ш ум еров. О т ни х она переш ла к вави лонянам н овы м хозяевам М еж дуречья, п очем у и вош л а в
и стори ю как вави лон ская си стем а счи слен и я.

Ч и сла в этой си стем е счи слен и я составляли сь
и з зн аков двух ви дов: прям ой кли н для
о б о зн ач ен и я ед и н и ц и л еж ач и й к л и н д л я
о б о зн ач ен и я д еся тко в. В се ч и сл а о т 1 д о 59
запи сы вали сь с пом ощ ью эти х зн аков, как в
о б ы ч н о й и е р о гл и ф и ч е с к о й с и с т е м е.

В се чи сл о в ц елом зап и сы вал ось в п ози ц и о н н о й
си стем е счи слен и я с осн ован и ем 60. П оясн и м это
на прим ерах.
П оэтом у вави лон ская си стем а получи ла
н азван и е ш ест идесят еричн ой.

Д л я о п р ед ел ен и я зн ач ен и я ч и сл а н ад о б ы л о
и зображ ен и е чи сла разби ть н а разряды сп рава
н алево. Ч ередован и е груп п оди н аковы х зн аков
("ц и ф р ") со о т в е т ст в о в а л о ч е р е д о в а н и ю
разрядов:
= 2 х 6 0 + 12 = 13 2

Б ы л у в а в и л о н я н и з н а к, и г р а в ш и й р о л ь н ул я.
И м об озн ач ал и о тсутстви е п р ом еж уточ н ы х
разрядов. Н о отсутстви е м ладш и х разрядов н е
о б озн ач ал о сь н и к ак. Так, ч и сл о
м о гл о о б о з н а ч а т ь
и 3 и 18 0 = 3 6 0 и 10 8 0 0 = 3 6 0 6 0 и т а к д а л е е.
Р а з л и ч а т ь т а к и е ч и с л а м о ж н о б ы л о т о л ь к о п о с м ы с л у.

Ш ести десятери чн ая си стем а ш и роко при м ен ялась
в астрон ом и чески х расчетах вплоть до эпохи
в о зр о ж д е н и я. И м е н н о е ю п ол ьзо в а л с я в о II в е к е
н.э. г р е ч е с к и й м а т е м а т и к и а с т р о н о м К л а в д и й
П тол ем ей п р и составл ен и и табл и ц ы си н усов
(д р е в н е й ш е й и з д о ш е д ш и х д о н а с).

Слайд 1

Текст слайда:

ИСТОРИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Слайд 2

Текст слайда:

Вавилонская шестидесятеричная система

За две тысячи лет до нашей эры, в другой великой цивилизации – вавилонской – люди записывали цифры по-другому.
Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов:
Прямой клин (служил для обозначения единиц)

Лежачий клин (для обозначения десятков)

Число 60 обозначалось знаком, что и 1

Слайд 3

Текст слайда:

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков («цифр») соответствовало чередованию разрядов:

Значение числа определяли по значениям составляющих его «цифр», но с учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.

Слайд 4

Текст слайда:

1. Число 92 = 60 + 32 записывали так:

2. Число 444 имело вид:

НАПРИМЕР:

444 = 7*60 + 24. Число состоит из двух разрядов

Слайд 5

Текст слайда:

Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения.
Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда, что соответствует в десятичной системе появлению цифры 0 в записи числа.

Число 3632 записывалось так:

В конце числа этот символ обычно не ставился.
Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. сделать это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Слайд 6

Текст слайда:

Шестидесятеричная вавилонская система – первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.
Окружность мы делим на 360 частей (градусов).

Слайд 7

Текст слайда:

РИМСКАЯ СИСТЕМА

В римской системе для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр».

Слайд 8

Текст слайда:

Слайд 9

Текст слайда:

Календарь на каменной плите (3 – 4 вв.), найденный в Риме

| Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 6 классы | Материал для любознательных | Вавилонская система счисления

Материал
для любознательных

Вавилонская система счисления

Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в Древнем Вавилоне примерно в III тысячелетии до нашей эры.

До нашего времени дошли многие глиняные таблички Древнего Вавилона, на которых решены сложнейшие задачи, такие как вычисление корней, отыскание объема пирамиды и др. Для записи чисел вавилоняне использовали всего два знака: клин вертикальный (единицы) и клин горизонтальный (десятки). Все числа от 1 до 59 записывались с помощью этих знаков, как в обычной иероглифической системе.

Все число в целом записывалось в позиционной системе счисления с основанием 60. Поясним это на примерах.

Запись обозначала 6 60 + 3 = 363, подобно тому как наша запись 63 обозначает 6 10 + 3.

Запись обознала 32 60 + 52 = = 1972; запись обозначала 1 60 60 + 2 60 + + 4 = 3724.

Был у вавилонян и знак, игравший роль нуля. Им обозначали отсутствие промежуточных разрядов. Но отсутствие младших разрядов не обозначалось никак. Так, число могло обозначать и 3, и 180 = 3 60 и 10 800 = 3 60 60 и так далее. Различать такие числа можно было только по смыслу.